大家好！今天让小编来大家介绍下关于实变函数与泛函分析基础的问题，以下是酷知号的小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。

集合论

集合的运算

并集：1、任意两个集合

2、任意多个集合的并集或和集：

设  一族集合  ；由一切   的 元素组成的集合，其中  是固定指标集， 是  中变化的指标。

记为   ，可表示为  

    是 有限集， 记   , 

 http://集合中的上限集与下限集 – antisource的文章 – 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/64140606

http://集合中的上极限与下极限 – 陌非的文章 – 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/116829467

http://可数集、不可数集、基数 – 云端之下的文章 – 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/452960039 

有限个不可数集的交集是不可数集（错）

http://两个不可数集的交集是可数集还是不可数集啊？ – 改个名好麻烦的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question/448380289/answer/1770477882 

若A表示平面上以有理点为中心、有理数为半径的所有圆，则A是可数集.

证：有理数全体是可列集，有理数的有序三数组也是可列集． A 中的元可看成三个有理数的有序数组（ x , y , r )（其中）( x , y ）表示圆的中心， r 表示圆的半径（ r >0)．所以 A 是可列集

无限多个闭集的并是闭集的反例

[1/n，1-1/n] 从n=3一直并到n=∞ 结果是（0，1）

可数个闭集的并集可能既不是闭集也不是开集，因此有F_sigma集与G_sigma集来描述这样的集合。 

对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。

性质

连续统与连续统基数在概念上是有区别的，连续统的基数是2式，但具有2式基数的集合不一定是实直线.具有连续统基数的集合很多，例如：

1.n维空间中所有点的集合。

2.所有复数的集合。

3.所有自然数的无穷序列的集合。

4.所有实数的无穷序列的集合。

5. R-A,R是实数集，A是R的任一可数子集。

6.所有无理数的集合。

7.所有自然数的无穷子集的集合。

可数集和有限集有什么联系和区别？

比如整数集，可以一个一个数数，但数不完，是可数集但不是有限集可数集，可以说是元素个数可以数的集合，从第一个开始一个一个有序往下数。有限集，是含有有限个元素的集合。实数集的子集比如（0,1）区间，不可数，也数不清里面有多少元素，所以不是可数集，也不是有限集。有限集一定是可数集。集合的元素个数有限就是多拿几张纸也就一个一个全写得出来了，可以一个一个数。可数集不一定是有限集。比如从1数到1亿，还是能继续数到1亿零1，可以无穷无尽。不可数集一定不是有限集。数都数不清了，肯定不是有限个不有限的集合可能是可数集，例子还是整数集

证明有理数集Q是可列集

不可测集的问题 举例说明两个不可测集的并、交、差既可以是不可测的,也可以是可测的 

设　A,B　分别是　[0,1],[1,2]　中的不可测集,
则　A1=[0,1]A,B1=[1,2]B,C=A∪[1,2]　都是不可测集.
显然
A∪B,A∩C,AB　都是不可测的,
A∪A1,A∩B,CA　都是可测的.

设E为[0,1]中有理点构成的集合,求E',E的闭包,E的内部,E的边界.

E' = [0, 1]

E 的闭包：[0, 1]

E 的内部：∅

E 的边界：边界 = 闭包 内部 = [0, 1]

 设E是（0,1）上的全部有理点，试求E在R内的导集（聚点集）核（内点集）与闭导（导集和自身的并集）

聚点集合是 0,1和无理数内点是 空集闭导是[0,1]

N(自然数集)的所有有限子集的集合是不是countable？

R={A,A is subset of N and A is finit}.
Is R a countable or an uncountable?

简单的无理数，如2的开方,3的开方，或所有代数方程的根的全体，仍然是可列的.
必须是超越(无理)数的全体，才会是不可列集. 

可列集的有限子集是可列集
可列集的无限子集才会是不可列集
自然数,有理数，代数数都是可列的，不管位数多长.
不可列集必须包含像e，pi这样的超越数，它们不能表示为有穷位小数或循环小数，即使任意大的有穷位也不行,
e，pi这样的超越数所包含的位数是真正的无穷，这是"已完成了"的无穷，或"实无穷"! 不可想象 

 R={A,A is subset of N and A is finit}是countable

对finit与infinit的理解是：finit可以任意大，但是不管它怎样大，总是有限的，永远不会达到无穷大。

例如：A是N的一个有限子集，无论其中有多少个元素，按如下的方法总可映射到一个有理数，因为元素的个数是有限的。对于无限子集，它将被映射到一个无理数。

R is countable. (Because A is finit)

One possible solution is mapping
A={n1,n2,….,nk} n1<n2<…<nk
To rational number

1/(n1+1/(n2+1/(n3+…….)))
And no different sets will be mapped into same rational number.
Since the set for rational number is countable, so the set R is countable too.

考虑A的所有有限子集，但这里的有限可以是任意大，此时R和N的幂集区别就在于有限无限，构造出来的数如果是有限位则是有理数，否则就不是；

当A有限时，1/(n1+1/(n2+1/(n3+…….)))是有理数

所有有理数的连分数表示只有两种（有一种最后一个数是1），所有无理数的连分数表示只有一种。所以容易看出上面的函数是单射。

考虑两个不同的集合{n1,n2,…,ni,n(i+1)…,nk}和{n1,n2,…,ni,n'(i+1),…nl},n(i+1)<n'(i+1),则
n(i+1)+1/(n(i+2)+1/…) < n'(i+1)+1/(n'(i+2)+1/…)
从而构造的两个连分式是不同的。

 自然数集的幂集与实数集等势

即|P(N)|=|R|.

考虑映射f把0映到0, 其余的x映到1/x, 这样R与[0,1]等势.

[0,1]中的每个元素可以唯一对应到{0,1}^N(可数无限次笛卡尔积)一个元素上(展开成二进制无限小数, 小数部分每位对应一个分量, 1等于0.999…), 这样R与{0,1}^N等势.

集合笛卡尔积的基数是原集合基数相乘, 于是|R|=|{0,1}^N|=2^N. 由|P(X)|=2^X(随便证一下就出来了)又有|P(N)|=2^N, 两边相等.

以上就是小编对于实变函数与泛函分析基础问题和相关问题的解答了，实变函数与泛函分析基础的问题希望对你有用！